Órbita de una partícula alrededor de un agujero negro

El pasado viernes 23 de marzo tuve el gusto de dar una charla en la Universidad Rafael Landívar, por invitación del Club de Ciencias y Astronomía. La charla se titulaba “Agujeros Negros: lugares de donde nada escapa, ni siquiera la luz”. Aunque he hablado sobre agujeros negros en pasadas oportunidades, esta vez quise enfatizar un aspecto que nunca había abordado con detenimiento: la órbita de un objeto alrededor de un agujero negro.

En lugar de buscar gráficas de órbitas en internet, opté por hacer la presentación un poco más interactiva. Escribí un pequeño programa utilizando el lenguaje de programación Python para resolver la ecuación geodésica, i.e. la ecuación que describe el movimiento de un objeto puntual alrededor de un agujero negro. El agujero negro más sencillo es aquél que está descrito por la métrica de Schwarzschild. Esta solución de las ecuaciones de Einstein representa el campo gravitacional generado por un objeto que posee simetría esférica.

El programa resolvía las ecuaciones en tiempo real y graficaba la trayectoria de la partícula bajo la influencia del campo gravitacional. Los interesados o curiosos en jugar con el programa lo pueden bajar en este link (previamente tienen que instalar Python).

En la presentación hicimos la suposición de que el Sol se convertía en agujero negro y calculamos diferentes trayectorias. El Sol no tiene suficiente masa para convertirse en agujero negro. Sin embargo nada nos detiene para resolver la ecuación geodésica usando tal suposición. Es lo bello de la física teórica.

1. Órbitas elípticas: Tierra-Sol

Primero mostramos que si aplicamos la Relatividad General al sistema Tierra-Sol obtenemos la misma solución que nos da la ley de gravitación de Newton. Esa es un requerimiento que toda teoría más amplia y general debe tener, que en el régimen adecuado reproduzca los resultados que ya conocemos. El tamaño de la Tierra y el Sol no está a escala en ninguna de estas figuras. La órbita de la tierra es prácticamente circular.

2. Órbitas elípticas: Mercurio-Sol

Esta es la órbita de Mercurio alrededor del Sol. Aquí sí se nota que la órbita no es un círculo, sino una elipse. El Sol ya no ocupa el centro de la órbita.

3. Órbitas elípticas: un caso general

Esta no corresponde a la trayectoria de ningún objeto en particular. Es una órbita elíptica genérica con más excentricidad que los casos anteriores.

4. Órbitas hiperbólicas

Ahora vemos órbitas que corresponden a objetos que tienen un único acercamiento al Sol y luego siguen su camino. El movimiento no es periódico y no están ligados al sistema solar como lo están los planetas.

5. Efectos relativistas

Para apreciar los efectos relativistas de la gravedad tenemos que acercarnos todavía más al Sol. La Tierra se encuentra a una distancia de 150 millones de Km, Mercurio está casi a la mitad de esa distancia. En este ejemplo nuestra partícula dista 15,000 Km del Sol. El lector curioso notará que el radio del Sol es 695,000 Km, lo cual pone a la partícula bien adentro de nuestra estrella. ¿Cómo es esto posible? Recordemos que estamos suponiendo que el Sol se convirtió en un agujero negro, es decir, que su masa ha colapsado gravitacionalmente y ahora ocupa en pequeñísima región de espacio. Bajo esa suposición, todo el espacio que era ocupado por el Sol (antes de convertirse en agujero negro) ahora está libre y una partícula puede orbitar en lo que habría sido el interior solar.

En este caso apreciamos el conocido efecto de la precisión del perihelio de la órbita. En la gráfica de abajo, la precesión es notable. Mercurio está sujeto al mismo efecto pero a menor escala (42 arco segundos por siglo).

En las gráficas siguientes nos encontramos aún más cerca del Sol, a 1,500 Km (izquierda) y 150 Km (derecha) de distancia respectivamente. La precesión es aún más acentuada y la forma elíptica original se distorciona.

Finalmente, en estos últimos dos ejemplos la distancia que existe entre el objeto orbitante y el Sol es de 15 y 10 Km, respectivamente. El horizonte de eventos para un agujero negro de una masa solar tiene un radio de 3 Km. La gráfica de la derecha muestra una órbita en donde la partícula cae al agujero negro. Aquí el tamaño del Sol sí está a escala. Esta última situación no es posible obtenerla en gravitación Newtoniana. Es una característica particular de la Relatividad General.

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