Cinemática 3, Rodando en un plano inclinado

El Plano Inclinado de Galileo
Para analizar la caída libre Galileo usó planos inclinados, su experimento consistía en dejar rodar una esfera sobre el plano inclinado desde distintas alturas para obtener distintas velocidades al final del trayecto sobre el plano inclinado. Luego de abandonar el plano la esfera cae libremente pero debido a su velocidad horizontal su movimiento es parabólico. Galileo midió la altura y la distancia que viajó la esfera en su caída y según S. Drake en “Galileo at Work” (1968) una de las tablas reportadas por Galileo es:

—————————–
D          H
573    1000
534      800
495      600
451      450
395      300
337      200
253      100


La regresión cuadrática de estos datos da una correlación R^2=0.998, que efectivamente verifica que la relación es cuadrática.
Esfera rodando sobre un plano inclinado


El tiempo que le toma a la esfera recorrer una distancia de cerca de 50 cm es de menos de un segundo, Galileo contaba para medir el tiempo con relojes de arena, clepsidras y su pulso, con ninguno de ellos lograría medir ese tiempo, por eso recurrió a las distancias que reportó. Pero con la cámara fotográfica si podemos registrar esos tiempos y las correspondientes distancias recorridas. Nuestro experimento es justamente una esfera rodando sobre un plano inclinado con un ántulo de \theta=14. 32^o. Se calibran lan distancias con la ayuda de la cuadricula blanquiroja del fondo (454.76pixel=2.3898cm/cuadro\times 24cuadros, en mi computadora). Los tiempos son proporcionados en cada cuadro por el programa Avidemux que muestra la grabación cuadro por cuadro de donde se elabora la siguiente tabla final
———————————————-
Tiempo(s)    Distancia(cm)    Velocidad(cm/s)
0.80000             51.618               133.54
0.76667             47.447               127.79
0.73333             43.667               122.04
0.70000             39.757               116.29
0.66667             35.846               110.54
0.63333             31.805               104.79
0.60000             28.286                 99.04
0.56667             25.548                 93.29
0.53333             22.420                 87.54
0.50000             19.552                 81.79
0.46667             16.945                 76.04
0.43333             14.208                 70.29
0.40000             12.123                 64.54
0.36667             10.037                 58.79
0.33333               8.603                 53.04
0.30000               6.517                 47.29
0.26667               5.214                 41.54
0.23333               4.171                 35.79
0.20000               2.868                 30.04
0.16667               2.086                 24.29
0.13333               1.303                 18.54
0.10000               0.521                 12.79
0.06667               0.391                   7.04
0.03333               0.261                   1.29
0.00000               0.000                   0.00
———————————————————————-
Le regresión, aplicada a las primeras dos filas, en este caso lleva a la ecuación
d=(0.239\pm 0.113)-(4.312\pm 0.657)t+(83.452\pm 0.793)t^2
correspondiente a una aceleracion de 86.25014\times 2= 172. 5   con R^2 =0.99984


Modelo Dinámico
Si la esfera rueda sin deslizarse las ecuaciones de movimiento toman su forma mas simple:
mgsin\theta -F=ma para el centro de masa y

FR=\frac{2}{5}mR^2\frac{a}{R} para un eje que pase por el centro de masa
dando como resultado

a=\frac{5}{7}gsin\theta = (1.7135\pm 0.0343)\frac{m}{s^2}

mientras el resultado experimental   a=(1,725\pm 1.64)\frac{m}{s^2}

y ambos concuerdan con el cálculo teórico usando g de “cinemática 2” del smartphone que tiene menos incerteza

a=(1.71\pm 0.0343)\frac{m}{s^2}
Conservación de la energía
Si la esfera se desliza mientras rueda entonces perderá energía, por lo que siguiendo con la hipótesis de que no se desliza calcularemos la energia
cinética y la energía potencial. Las alturas pueden calcularse a partir del recorrido a lo largo del plano inclinado, tomanto la altura inicial desde
donde la esfera parte con velocidad cero hasta el último punto registrado en la tabla a los 0.8 segundos. La energía cinética se obtiene de la primera
derivada de la ecuación obtenida con la regresión cuadrática y aparece ya en la tercera fila, junto a los datos originales.
La energía potencial, mas la cinética de traslación y mas la cinética de de rotación es:
\frac{1}{2}mgh+mv^2+\frac{1}{2}(\frac{2}{5}mr^2+mr^2)((v/r))^2=mgh+\frac{7}{10}mv^2=cte

y debe ser constante.
Tabulando los valores calculados obtenemos la siguiente tabla (tiempo-Energía):
————————————————————-
Tiempo        Cinética         Potential            Total
0.80000                     0       1185955        1185955
0.76667             99910       1086026        1185936
0.73333           190454         990494        1180948
0.70000           284120         899360        1183480
0.66667           377785         812623        1190408
0.63333           474573         730283        1204857
0.60000           558873         652341        1211214
0.56667           624439         578796        1203235
0.53333           699371         509648        1209019
0.50000           768060         444898        1212957
0.46667           830503         384545        1215048
0.43333           896070         328589        1224658
0.40000           946025         277030        1223055
0.36667           995980         229869        1225849
0.33333        1030324          187106        1217429
0.30000        1080279          148739        1229018
0.26667        1111501          114770        1226271
0.23333        1136478            85198        1221677
0.20000        1167700            60024        1227724
0.16667        1186434            39247        1225680
0.13333        1205167            22867        1228033
0.10000        1223900            10884        1234784
0.06667        1227022              3299        1230321
0.03333        1230144                111        1230255
0.00000        1236389                    0        1236389
———————————————————-

La energía potencial, línea negra, decrece, la energía cinética, línea verde, aumenta, en tanto que la suma de ambas, linea roja, permanece casi constante.
Los resultados de nuevo son consistentes con la hipótesis inicial, la esfera no se desliza, al mismo tiempo notamos que la energía prácticamente se conserva
como es de esperarse ante la ausencia de deslizamiento. Sin embargo aproximadamente un 4\% de la energía desaparece a lo largo del movimiento lo cual sin duda se debe a la fricción de la esfera con el aire, que debe variar con la velocidad, como en efecto se nota de la forma en que cae la energía y del
valor muy pequeño del termino lineal negativo de la ecuación cuadrática v-t.
Este tercer post de cinemática, al igual que los dos anteriores puede ser mejor explotado, analizando la pérdida de energía, la posibilidad de un deslizamieno mínimo, buscar el coeficiente de arrastre de la esfera, la variación de comportamiento al variar el ángulo, etc.
Simulación
En la página Física por ordenador Angel Franco, hace una bonita simulación de la esfera rodando en el plano inclinado, donde podemos notar que el tiempo para un plano de la inclinación del nuestro arroja un tiempo consistente, además muestra que el deslizamiento ocurre generalmente a un ángulo mayor que el nuestro para los valores usuales del coeficiénte de fricción estático. Para nuestro ángulo muestra que la energía se conserva debido que al igual que nosotros no toma en cuenta la fricción de la esfera con el aire.

Exclusión del deslizamiento

Si tomaramos en cuenta el deslizamiento las ecuaciones son:
Suma de fuerzas mgsin\theta -mg\mu cos\theta =ma

y suma de torques \mu Rmgcos\theta =\frac{2}{5}mR^2\frac{A}{R}

donde ahora la aceleración angular ya no es proporcional a la del centro de masa dando como resultado a=gsin\theta -g\mu cos\theta , esta ecuación es consistente con el resultado experimental solo si \mu= 0.0787, el cuál es demasiado pequeño para los valores usuales de fricción.

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Acerca de Edgar Cifuentes

Profesor de Física de la Universidad de San Carlos de Guatemala
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