Simulando un mantel en caída libre con osciladores armónicos

Hace algún tiempo atrás (años) había visto una animación en donde una especie de mantel caía sobre una mesa. La película mostraba el movimiento de la tela modelado matemáticamente como una red de masas conectadas entre sí por resortes.

Aprovechando que ahora estoy de vacaciones quise reproducir esa animación, por la simple razón de que es divertido hacer lo que a uno se le da la gana. El resultado fue bastante satisfactorio.

Lo más hermoso del caso es la simplicidad del modelo. Lo que tenemos es un conjunto de osciladores armónicos. El movimiento se encuentra resolviendo la segunda ley de Newton para la posición de cada una de las partículas.

El movimiento inicial es provocado por una aceleración uniforme hacia abajo, i.e. una caída libre. Para simular la mesa lo que hacemos es “apagar” la gravedad en la región circular central y cambiarla por una fuerza de amortiguamiento proporcional a la velocidad. Eso tiene el efecto de frenar bruscamente las partículas dentro de la circunferencia mientras que el resto continúa en caída libre. Pero como todas están unidas por resortes, las partículas que siguen cayendo sienten el tirón hacia arriba y el sistema manifiesta el complejo movimiento como si fuera una pedazo de tela.

Para hacer el movimiento más realista y menos vibratorio, todas las partículas experimentan una pequeña fuerza de fricción proporcional al negativo de su velocidad. Si la fricción es cero, el movimiento nunca cesa. Si la fricción es alta, el mantel gana rigidez y ya no oscila tanto al caer.

En otras palabras, lo que vemos son los conceptos del oscilador armónico amortiguado en acción.

¿Cómo resolvemos la segunda ley de Newton para cada partícula? Lo hacemos numéricamente. En este caso utilicé el método de Runge-Kutta de cuarto orden. Un método estándar para integrar ecuaciones diferenciales ordinarias. Como toda solución numérica, ésta también tiene un margen de error. De hecho ese error numérico se puede apreciar en la película de arriba. ¿Saben cuál es el efecto? Sí, son la vibraciones espurias que se ven en los últimos segundos de la animación. Ese efecto se puede eliminar simplemente escogiendo un tamaño de paso más pequeño en nuestro algoritmo de Runge-Kutta.

¿Qué se necesita para hacer una simulación de este tipo? Un poco de física general, ecuaciones diferenciales y saber programar. Nada que un estudiante de ingeniería no pueda hacer con los cursos que se le dan, ¿no?

¿No es hermoso lo que se puede lograr conociendo un poco de física y matemática?

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3 respuestas a Simulando un mantel en caída libre con osciladores armónicos

  1. Mayra dijo:

    Primero que nada, animación con colores navideños! preciosa!, Segundo, qué bien hacer lo que nos guste y en el momento que nos asalte la gana, lo más bonito de una simulación es la reproducción en tiempo y espacio reales 😉
    Yo no tengo, esos conocimientos pero tambien realizo simulaciones en un plano distinto ;)………………y se mira igual, jajajaja!

    Abrazo!

  2. erubio dijo:

    ¡Qué bonita animación Enrique, felicidades y a hacer lo que a uno se le plazca!

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