La ecuación de onda en los tiempos de examen

Es la última semana de clases aquí en la Facultad de Ingeniería de la USAC, huele a exámenes finales y una de mi ecuaciones favoritas es la ecuación de onda… ¿Qué tiene que ver una cosa con la otra? Pues que hoy terminé el curso de análisis de Fourier mostrándoles a mis estudiantes algunas gráficas animadas de la solución de la ecuación de onda. Para quienes no han tenido el gusto, la ecuación de onda más simple se ve así:

\displaystyle \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}.

La ecuación de onda es poderosa, simple y hermosa. Describe cualquier fenómeno que tenga que ver con algún tipo de onda. Por mencionar algunas: el sonido, la luz, un terremoto, ondas de radio, ondas gravitacionales, ondas en una cuerda de guitarra o piano, etc.

En la ecuación de arriba, podemos imaginarnos una onda en una cuerda de guitarra. La cantidad de espacio que la cuerda se desplaza de arriba hacia abajo al oscilar está representada por la variable u. Lo que la ecuación nos dice es que la aceleración que experimenta cada punto de la cuerda es igual a la curvatura que posee en dicho punto.

La solución de la ecuación de onda hace uso de las series de Fourier. Por ejemplo, la misma ecuación en 2 dimensiones podría describir las vibraciones de la membrana de un tambor. Tal solución se describe matemáticamente con la fórmula

\displaystyle u(x,y,t) = \sum_{m=1}^\infty \sum_{m=1}^\infty A_{mn} \cos k_{mn}t \sin \frac{m \pi x}{a} \sin \frac{n \pi y}{b} .

En una membrana rectangular de dimensiones a \times b, esta fórmula describe la vibraciones de tal membrana. La cantidad A_{mn} son los coeficientes de una serie de Fourier en dos dimensiones. Gracias a ello, las sumatorias infinitas (los símbolos \Sigma) ayudan a representar cualquier forma que le podamos dar a esa membrana. La función matemática u(x,y,t) se visualiza en la siguiente animación, ¡toda una serie de Fourier en movimiento!

El hecho que una función matemática pueda representar un fenómeno físico observable es una de la características más bellas tanto de la física como de la matemática. Para un científico no hay nada más hermoso que encontrar una ecuación que describa, se ajuste y haga predicciones del mundo que observamos. En este caso la ecuación de onda representa la esencia misma de todo fenómeno ondulatorio, una propiedad fundamental de la naturaleza.

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4 respuestas a La ecuación de onda en los tiempos de examen

  1. Pingback: Simulación de un pulso viajando en una cuerda « GuateCiencia

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  3. Pedro dijo:

    Siguiendo mas o menos la misma linea, acá está este video

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