El problema de la tarjeta telefónica

El problema

El otro día estaba buscando en internet la forma más barata de llamar por teléfono desde EEUU a Guatemala. Encontré varios tipos de tarjeta telefónica con diferentes precios, cuotas, cargos, fechas de expiración, etc. Por ejemplo, la compañía Nobelcom ofrece cuatro tipos de tarjeta para hacer llamadas telefónicas a Guatemala. Todas cuestan US$20. Una ofrece un precio de 5.4 centavos (de dolar) el minuto y otra lo ofrece a 10 centavos. Tratar de decidir qué tarjeta es mejor incurre en una línea de pensamiento más o menos así: “Con la primera el precio por minuto es casi dos veces más barato, pero tiene un redondeo de 4 minutos, que para la otra es de 1 segundo. Redondear el tiempo de llamada a 4 minutos parece sumamente injusto, suena mejor hacerlo cada segundo. Pero el precio por minuto es el doble. En todo caso dependerá del número de llamadas que se haga…”

Nos encontramos entonces ante un pequeño y estimulante problema, ¿qué tarjeta telefónica me conviene más? Para hacer la decisión más difícil, no son sólo dos tarjetas sino cuatro. Por comodidad, he recolectado la información en la tabla de abajo.

tarjeta precio por minuto redondeo cuota mantenimiento
1 10.0 ¢ 1 sec 0
2 8.0 ¢ 1 min 49 ¢/mes
3 6.9 ¢ 1 min 69 ¢/semana
4 5.4 ¢ 4 min 99 ¢/semana

El modelo

Para resolver el problema necesitamos un modelo matemático. Intuitivamente vemos que si hiciéramos una sóla llamada que consuma toda la tarjeta, la mejor opción sería la tarjeta 4, con 5.4 centavos por minuto. Pero no siempre una llamada va a ser tan larga. En el otro extremo, si hacemos muchas llamadas cortas, nos conviene más la tarjeta 1, pues el tiempo de redondeo es de 1 segundo. Esos son los extremos ¿pero qué sucede en medio?

Construyamos el modelo. Llamemos p al precio por minuto, C al costo de la tarjeta y S al saldo en minutos de la tarjeta. El saldo después de una llamada es

\displaystyle S = C - p (t + T_r).

Aquí, t es el tiempo de duración de la llamada y T_r el tiempo de redondeo. Después de la n-ésima llamada el saldo es

\displaystyle S_n = S_{n-1} - p (t_n + T_r/2)

El factor de 1/2 lo agregamos para tomar en cuenta que no todas las llamadas serán redondeadas a la misma cantidad. Si una llamada dura exactamente 9 minutos, la tarjeta 4 se agregará otros 3 minutos. En promedio, la cantidad de redondeo sería T_r/2.

Expresando el saldo en términos del costo inicial tenemos que

\displaystyle S_n = C - p \left( \sum_{i=1}^n t_i + \frac{n}{2} T_r \right)

\displaystyle S_n = C - p \left( n \bar{t} + \frac{n}{2} T_r \right)

Listo, es todo lo que necesitabamos. Aquí, n es el número de llamadas efectuadas y \bar{t} es la duración promedio de la llamada. Sabemos que nuestra tarjeta ha terminado cuando el saldo S_n es cero. Despejamos entonces el valor de n de esta fórmula

\displaystyle n = \frac{C/p}{\bar{t}+T_r/2}.

En realidad una cantidad con mayor significado es el tiempo total para hablar. Esta cantidad es tiempo que en realidad uno habla después de descontar los múltiples redondeos. Esta cantidad es justamente n \bar{t}. Llamémole T a esta cantidad. Después de multiplicar ambos lados de la ecuación anterior por \bar{t} nos queda

\displaystyle T = \frac{C/p}{1+T_r/2 \bar{t}}.

Esta fórmula nos da el tiempo total que podemos hablar en función de la duración promedio de nuestras llamadas. Abajo vemos un gráfico de esta fórmula para cada una de las tarjetas (click para agrandar).

De aquí podemos sacar conclusiones sólidas

  1. La tarjeta 1 es insensible a la duración de la llamada. Con un redondeo de 1 segundo, tal efecto se vería si nuestras llamadas duraran en promedio menos de 30 segundos.
  2. Para llamadas cortas (menos de approx. 3 minutos), las tarjetas con mayor redondeo son menos eficientes.
  3. Para llamadas largas la tarjetas con precios por minuto más pequeños son más efectivas. Mientras más larga la llamada, mejor.

Es interesante que las líneas en la gráfica se cruzan entre 2 y 6 minutos de tiempo promedio de llamada. Podríamos especular si la elección de redondeos obedece a algún patrón detectado por la compañía de tarjetas para maximizar sus ganancias, pero esa delicada tarea está fuera del tema de nuestro análisis.

Ahora que ya sabemos qué tarjeta comprar según nuestras necesidades, existe una complicación adicional. Las tarjetas tienen una cuota semanal de mantenimiento, como se ve en la tabla de arriba. Es decir que nuestra fórmula anterior es perfectamente válida si nos terminamos la tarjeta en menos de una semana. Después de ese intervalo nuestro saldo disminuye debido a dicha cuota. Si dejamos pasar mucho tiempo, nuestro saldo llegará a cero sin que hayamos usado la tarjeta.

Esto le agrega una dimensión más a nuestro modelo matemático. Ahora también hay que tomar en cuenta el tiempo transcurrido después de la compra. Nuestra fórmula se convierte en

\displaystyle T = \frac{(C-T_c m)/p}{1+T_r/2 \bar{t}},

donde T_c es el tiempo en semanas después de la compra de la tarjeta y m es la cuota semanal de mantenimiento. En la gráfica de abajo vemos el efecto de este nuevo parámetro (click para agrandar).

En términos generales, las tarjetas con precios por minuto más bajos tienen un mantenimiento más alto y expiran antes. La tarjeta 1 no tiene esta cuota, por lo tanto no se ve afectada. Si después de unas 8 semanas no utilizamos nuestra tarjeta de minuto barato, resulta igual o peor que la tarjeta de minuto caro.

La mejor opción

En conclusión, la mejor tarjeta depende del uso que le vayamos a dar. Puede que alguien haga llamadas largas y esporádicas o talvez llamadas cortas y frecuentes o en algún otro patrón. En cada caso es obvio que irse por la que tiene el minuto más barato no es siempre la mejor opción.

Este sencillo problema es un ejemplo ilustrativo de una situación cotidiana en donde las matemáticas nos ayudan a entender a fondo el problema. Nos ayuda a tomar una decisión informada basada en hechos sólidos y no en tanteos o corazonadas.

Comprar una tarjeta telefónica bien puede ser catalogada como una transacción trivial. Sin embargo, no me cabe duda que muchas decisiones importantes son hechas a los tanteos y corazonadas. Es allí donde el agudo filo de las matemáticas y un modesto análisis podrían salvar a una compañía de una mala inversión e incluso de la banca rota.

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Una respuesta a El problema de la tarjeta telefónica

  1. Marcos dijo:

    Interesante Artículo Enrique

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