Sin sombra al medio día II: excentricidad de la órbita

En el post anterior hablábamos de cómo predecir las fechas del “día sin sombra”. Hay dos fechas durante el año en que esto sucede. Una de las fechas la pudimos calcular, pero en la segunda encontramos dos o tres días de diferencia respecto de la fecha observada. La explicación de tal diferencia es que la fórmula que usamos lleva implícita la suposición de que la tierra se mueve alrededor del sol en un círculo perfecto, lo cual no es cierto. La órbita de la tierra alrededor del sol es en realidad una elipse.

La Elipse

Sin entrar en muchos detalles, una elipse es un círculo alargado. Existen muchas formas de definirla, basta darle un vistazo a la Wikipedia. La elipse tiene una forma como esta

La distancia A es el diámetro mayor y la distancia B es el diámetro menor. Una elipse posee dos puntos llamados focos, F1 y F2 los cuales a están a una distancia C entre sí. Estos puntos son importantes, ya que si medimos la distancia desde un punto cualquiera de la elipse hacia cada uno de los focos, la suma de esas dos distancias es siempre la misma. Esa propiedad es una de las formas de definir la elipse.

De especial interés para nosotros en esta discusión, es la cantidad llamada excentricidad. Representada con la letra e, se calcula dividiendo la distancia entre los focos por el diámetro mayor. Es decir,

\displaystyle e = \frac{C}{A}.

El valor de la excentricidad e para una elipse está comprendido entre 0 y 1. Si la excentricidad es 0, la elipse en realidad es un círculo y ambos focos coinciden con el centro de ese círculo. Si la excentricidad es muy próxima a 1, la elipse es muy alargada; si es igual a 1 en lugar de una elipse tendremos una parábola y si es mayor a 1 estaremos hablando de una hipérbola. Estas curvas son llamadas secciones cónicas. Vemos que podemos clasificar curvas cónicas por medio de un sólo parámetro, la excentricidad. Esto juega un papel esencial al estudiar el tipo de órbitas que un objeto puede tener bajo la acción de la fuerza de gravedad. Según la energía del objeto, la forma de su órbita puede ser una de las distintas secciones cónicas.

Órbita de la tierra

Para analizar la órbita de la tierra alrededor del sol, aplicamos la segunda ley de Newton al sistema formado por estos dos astros. La posición de la tierra está determinada en todo momento por una coordenada radial r, que es la distancia del sol a la tierra y una coordenada angular \phi (ver figura abajo). El ángulo \phi, completa una vuelta alrededor del sol en un año. Las cantidades r y \phi son conocidas como coordenadas polares.

La segunda ley de Newton (fuerza igual a masa por aceleración) nos da dos ecuaciones. Al resolverlas obtenemos la distancia r y el ángulo \phi para cualquier instante de tiempo. Dicha solución representa una elipse y se puede escribir como

\displaystyle r = \frac{a(1-e^2)}{1- e \cos \phi}.

En estas coordenadas el sol se encuentra en r=0, que sería el foco F1 de la elipse, en la figura anterior. La solución para ángulo \phi es consecuencia directa de la conservación del momentum angular L, y es

\displaystyle \dot{\phi} = \frac{L}{mr^2},

L es constante, m es la masa de la tierra y \dot{\phi} (se lee “\phi punto”) es una forma de escribir la velocidad angular. De esta sencilla fórmula concluimos que la velocidad de la tierra depende de qué tan lejos se encuentra del sol. A menor distancia, mayor velocidad y a mayor distancia más lento se mueve la tierra. Básicamente, esta es la segunda ley de Kepler del movimiento planetario.

Ahora que ya sabemos qué es una elipse y cómo esa elipse representa la órbita de la tierra, veamos cómo se relacionan estos conceptos con nuestro problema original, que era que fallábamos en predecir una de las fechas del “día sin sombra”.

Una herramienta poderosa

Para resolver nuestro problema, todo lo que necesitamos es el valor del ángulo \phi para cualquier instante de tiempo durante el año. Esto lo podemos averiguar usando las soluciones que obtuvimos en la sección anterior. Sin embargo rápidamente nos damos cuenta que nos topamos con un serio problema: tenemos que resolver una ecuación diferencial bastante complicada.

En esta situación hacemos uso de la información que tenemos y notamos de que la órbita de la tierra debe ser casi un círculo, pues el error de nuestra predicción anterior es sólo de unos pocos días. De la misma forma, podemos comprobar que la distancia entre dos equinoccios no es exactamente medio año (182 días). Del equinoccio de primavera (20 de marzo) al equinoccio de otoño (23 de septiembre) hay 187 días en lugar de los 182 que serían si la órbita fuera circular. Por lo que concluimos que la tierra tiene una órbita con muy poca excentricidad. En otras palabras, e es un número muy pequeño, cercano a cero. Esta observación nos permite utilizar una de las herramientas más poderosas en física: una expansión en series de Taylor. Obviando los detalles, este procedimiento nos da una fórmula aproximada más simple para la órbita, la cual es válida únicamente cuando la excentricidad es pequeña. Decimos entonces que vamos a trabajar a orden lineal en e, pues sólo tomamos en cuenta la primera potencia de la excentricidad y descartamos el resto. Así obtenemos que la ecuación de la órbita se reduce a

\displaystyle r = a(1 + e \cos \phi).

Ahora sí podemos integrar fácilmente la ecuación para \phi. El resultado es

\displaystyle \phi + 2 e \sin \phi = \frac{2 \pi t}{T},

donde T es el período de 365 días.

Calculando la excentricidad

La excentricidad de la órbita terrestre la podemos calcular de la fórmula que acabamos de encontrar. Para ello notamos que el tiempo de un equinoccio a otro es de 187 días (de primavera a otoño) o 178 días (de otoño a primavera). La clave es darnos cuenta que ambos equinoccios están separados por media circunferencia (180 grados) en el camino de la tierra alrededor del sol. En otras palabras, la tierra ha completado exactamente media vuelta alrededor del sol. En términos matemáticos, decimos que si un equinoccio ocurre cuando la tierra está en una posición \phi_1, el siguiente equinoccio ocurriría en la posición \phi_2=\phi_1+180^\circ. Sustituyendo estos dos ángulos en la última ecuación de la sección anterior y restándolas obtenemos que

\displaystyle e \sin \phi_1 = \frac{\pi}{4}\left( 1 - 2 \frac{\Delta t}{T} \right).

Como no conocemos el valor de \phi_1, pero sabemos que |\sin \phi_1| a lo sumo tiene el valor de 1, podemos estimar el valor mínimo de la excentricidad de la tierra. Sustituyendo T=365 días y \Delta t = 178 ó 183 dias, da como resultado

e_{\mbox{minima}} = 0.019.

Consultamos la Wikipedia y encontramos que el valor real es e=0.016. ¡Sorprendente! Obtuvimos una buena estimación de la excentricidad de la orbita de la tierra y lo único que necesitamos fue ¡contar los días entre los equinoccios!

Solución final

Regresamos ahora al origen de todo este análisis. El problema que queríamos resolver que era la discrepancia de 2 ó 3 días para la segunda fecha del “día de no sombra”, tal como lo vimos en el post anterior.

La corrección debida a la excentricidad se manifiesta en el hecho de que la velocidad angular de traslación de la tierra no es constante. Una forma de tomar en cuenta esta variación consiste en calcular la velocidad angular promedio de la tierra entre cada equinoccio. El hecho de que la tierra se tarda más tiempo en ir del equinoccio de primavera al de otoño significa que — en promedio — su velocidad es menor que la que lleva cuando va del equinoccio de otoño al de primavera. Utilizando la ecuación para \dot{\phi} y sustituyendo la ecuación simplificada de la órbita r, procedemos a calcular el valor medio de \dot{\phi} en el intervalo de medio año en el que dicha velocidad angular es menor que el valor promedio a lo largo de un año (que es 2 \pi/T). Evaluando la integral del valor medio y tomando de nuevo sólo el orden lineal en la excentricidad nos da

\displaystyle \dot{\phi}_{\mbox{promedio}} = \frac{2 \pi}{T} \left(1 - \frac{2e}{\pi} \right).

Sustituyendo e=0.016, el factor de corrección es 0.9898. O sea que la velocidad promedio es 0.9898 veces más lenta. Lo cual se traduce a un período efectivo ligeramente más largo entre el equinoccio de primavera y el de otoño, que es

\displaystyle T_{\mbox{efectivo}} = \frac{365}{0.9898} = 368.8 días.

Finalmente, utilizamos la fórmula del post anterior para la segunda fecha, pero ahora usamos T=368.8 días y obtenemos que

\displaystyle t_2 = 145.0 días.

Contamos 145 días desde el 20 de marzo y ¡voila! la fecha ahora es 12 de agosto. ¡De nuevo, un día de diferencia! que es la misma diferencia que aceptamos como razonable para la primera fecha.

A pesar de que hicimos varias simplificaciones vemos que nuestro resultado captura la esencia del problema. Si quisiéramos más precisión o exactitud podríamos ser más rigurosos en los cálculos, pero lo mejor es siempre obtener un modelo básico para luego refinarlo con todos los detalles matemáticos. No siempre es necesario resolver las ecuaciones exactamente para encontrar una solución. Muchas veces reconocer las características físicas de la situación que se desea analizar nos puede ahorrar una enorme cantidad de tiempo y esfuerzo.

Con esto concluimos con nuestro análisis. ¿No es la ciencia un encanto? 😀

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13 respuestas a Sin sombra al medio día II: excentricidad de la órbita

  1. Anibal dijo:

    Ok. Muchas gracias por la información Dr. Estaré en ello entonces.

  2. Anibal dijo:

    Muy buenas. He estado intentando buscar la fecha precisa del próximo equinoccio este mes de Marzo pero no encuentro nada al respecto. Supongo que estará (sino es exactamente ese día) rondando el 20 de marzo.

    Uno de mis motivos es “intentar” realizar aquella vieja medición de Eratostenes y para ello tengo un amigo que se presta a hacerlo en México. Quizá al fin y al cabo mis resultados no sean de lo más satisfactorio, pero quiero intentarlo a toda costa.

    Saludos!

  3. Pingback: El recuento y el pronóstico « GuateCiencia

  4. litomd dijo:

    Sin ser experto en el tema me atrevo a opinar sobre lo que dice Enki Vera sobre la “exactitud” de los calendarios Maya y Azteca, basado en un par de hechos simples: primero, el periodo de traslación de la tierra no es un múltiplo exacto del periodo de rotación, lo que quiere decir que el año como tiempo que le toma a la tierra dar una vuelta completa alrededor del sol no coincide con una cantidad exacta de días (ni de horas, ni de minutos y ni siquiera de segundos), también significa que cualquier calendario que diga que el día de hoy estamos exactamente en la misma posición respecto al sol que hace “x” cantidad de días debería aceptar un cierto grado de error.
    Segundo, el hecho de que la duración del día (el periodo de rotación) varía en función de los reacomodos de masa en la tierra (el desplazamiento de los continentes o el reciente terremoto de Chile por ejemplo) significa que ningún calendario se puede considerar eternamente “fijo” sino que debe ajustarse a veces más y a veces menos.
    Tenemos un calendario aceptablemente aproximado para propósitos prácticos, lo mismo que el que tenían los Mayas y los Aztecas, aunque se pueda argumentar que el de ellos era una mejor aproximación, lo que no se puede es decir que era “fijo y exacto”, ese par de palabras siempre me causan duda cuando las veo. 🙂

  5. enki vera dijo:

    El comentario que dejé pendiente desde la primera parte es que esta era una de las forms de medir el tiempo de nuestros indígenas. por eso no puedo aceptar que esos calendarios, según los expertos, sea de 365d cuando ellos sabían desde un par de milenios antes de nuestra era que era un poco menor de 365.25. En mis ratos libres me meto a investigar sobre esta cuestión. Yo ya sabía de esto pero dudaba que fuera cierto, por eso te lo agradezco, Enrique, porque esto me confirma una vez más que el calendario maya (y el azteca) sí era fijo y exacto y no precesaba como lo afirma Edgar en su artículo, que por lo demás va de acuerdo a lo que hasta ahora se sabe. en lo que sí Edgar no tiene razón es que él dice que precesa en el gregoriano pero si el modelo de los mayanistas es de 365d debe precesar tanto en el juliano como en el gregoriano ya que es más corto que cualquiera de los dos e incluso se adelanta más en el juliano.
    cualquiera de estos días “sin sombra”, aparte de otras tretas, era una forma muy precisa de saber con exactitud la longitud del año. Nuestros indígenas tenían año bisiesto y el calendario se ajustaba más o menos cada 104 años (estoy por demostrarlo) evitando que pasara lo que pasó en el juliano. es por eso que algunos grupos indígenas guatemaltecos van en el año 5126 mientras que los may(an)istas en el 5123.

  6. Gabriel dijo:

    Me parecio una muy buena explicacion y la forma como abordaste el problema! Gracias Enrique.

  7. Enrique dijo:

    Supongo que debe dar una aproximación razonable, siempre que la latitud sea menor a 23.5 grados.

  8. enki vera dijo:

    Me pareció muy interesante el “2o. acto” pero demasiado complicado para mis conocimientos matemáticos. Me quedo con el primero y, como lo deduje en mi comentario anterior, partiendo del equinoccio otoñal y con base a t1, llego a la fecha buscada. Leí por allí que la fecha más normal es 22 de septiembre, así que 22-40d =>13 de agosto.
    Mi pregunta es:
    se puede hacer igual para cualquier otra latitud conociendo t1?

  9. Pingback: Sin sombra al medio día « GuateCiencia

  10. Enrique dijo:

    Algo que es muy interesante también es lo que sucede en los artículos científicos, con relación a la forma de abordar el problema. Algunos presentan un cálculo simple que describe una situación que nadie había descubierto antes. Ese tipo de artículo es el que aparece después hasta en las secciones de ciencia de los periódicos. Por el contrario, un artículo más técnico con todo el rigor matemático y por tanto con mayor exactitud, hará eco sólo en los círculos de gente especializada en el tema. No siempre es así, pero yo diría que muchas veces así sucede.

  11. Gustavo A. Ponce dijo:

    Me parece interesantísima la forma tan simple como has abordado este problema, obteniendo soluciones bastante acepta bles con a partir de modelos que pueden ser entendidos por no especialistas.
    No sólo se obtienen soluciones razonables, sino muestra con mucha claridad la forma como los científicos utilizan los modelos matemáticos como herramientas para aproximarse a la realidad, buscando siempre el “punto medio”: un modelo lo suficientemente simple para ser entendible y manejable, pero lo suficientemente complicado para ser realista y útil. Tu modelo de “kilómetro cero” de una diferencia de 3 días, el de “kilómetro uno” da ya sólo un día. Modelos más elaborados darían resultados más exactos, pero el precio a pagar es un nivel más alto en la matemática y los cálculos.
    Lo interesante es que uno puede decidir: si no quiere complicarse la vida con matemáticas avanzadas, debe estar dispuesto a tolerar mayores incertidumbres o “errores”; si quiere resultados con mucha exactitud y precisión, debe aprender más matemática.
    Muy buen trabajo. Muchas gracias!

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