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Sin sombra al medio día abril 22, 2010

Posted by Enrique in Astronomía, Divulgación de las Ciencias, Física.
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El pasado sábado 17 de abril, Siglo 21 publicó una nota titulada “El día sin sombra” escrita por Edgar Castro Bathen. La nota explica claramente que durante el año existen dos días en los cuales a las 12 horas del medio día los objetos no proyectan sombra alguna sobre la tierra. Para Guatemala esto sucede el 29 de abril y el 13 de agosto. En estos dos días, la inclinación del eje terreste es tal que los rayos del sol inciden perpendicularmente sobre la superficie terrestre, en la latitud a la cual se encuentra la ciudad de Guatemala.

Me pareció un dato curioso y muy fácil de verificar, tal como Edgar Castro lo explica. Como a mi me gusta más la teoría que los experimentos, se me ocurrió que debería ser posible predecir tales fechas analíticamente, es decir utilizando fórmulas matemáticas. Efectivamente, así fue. Pero para mi sorpresa, hacer ese cálculo me llevó por una ruta inesperada, que les cuento a continuación.

Modelo matemático

El primer paso es encontrar una fórmula que nos dé la inclinación del eje terrestre a lo largo del año. La variación de dicha inclinación es lo que da origen a las diferentes estaciones climáticas. Durante un equinoccio, el eje terrestre se encuentra en una posición “vertical” respecto de los rayos solares, por lo que el día y la noche tienen la misma duración. Los equinoccios ocurren el 20 de marzo y el 23 de septiembre (con variaciones de más o menos 1 día). En los solsticios, el eje terrestre alcanza su máxima inclinación que son 23.45 grados. El solsticio de invierno ocurre el 22 de diciembre y el de verano el 20 de junio. En otras palabras, la inclinación del eje terrestre es un movimiento periódico con una duración o período de 1 año.

En forma abreviada ese movimiento periódico lo podemos escribir usando la función trigonométrica seno (abreviada \sin de su nombre en inglés “sine”)

ángulo de inclinación \displaystyle = 23.45^\circ \sin \left( \frac{2 \pi t}{\mbox{periodo}} \right)

si le llamamos \theta al ángulo de inclinación, T al período de 1 año y t al tiempo medido en días desde el el equinoccio de primavera (20 de marzo), tendremos que

\displaystyle \theta = 23.45^\circ \sin \left( \frac{2 \pi t}{T} \right)

Esta fórmula nos da inclinación del eje terrestre en cualquier día a lo largo del año.

El eje de la tierra está vertical en el equinoccio de primavera.

En el "día de no sombra" la inclinación del eje terrestre es igual a la latitud del lugar donde no se proyecta sombra alguna al medio día.

Prediciendo las fechas

Para estimar las fechas en las que los rayos del sol nos llegan en forma perpendicular, notamos que eso sucede cuando la inclinación del eje terrestre es igual a la latitud (ver figuras) — en este caso — de la ciudad de Guatemala, que son 14.6 grados. O sea que tenemos que averiguar el valor de t que hace que \theta sea 14.6 grados. La ecuación a resolver es

\displaystyle 14.6^\circ = 23.5^\circ \sin \left( \frac{2 \pi t}{365} \right)

Aquí usamos T=365 días como el período del movimiento. Resolviendo esta sencilla ecuación obtenemos dos soluciones, las cuales corresponden a las dos fechas en que el fenómeno de “no tener sombra” se puede observar.

\displaystyle t_1 = 38.9 días
\displaystyle t_2 = 143.5 días

Redondeando a enteros, ahora contamos 39 días desde el 20 de marzo y eso corresponde a la fecha 28 de abril. ¡Un día de diferencia! Considerando que la fecha del equinoccio (20 de marzo) puede variar más o menos 1 día en diferentes años y la simplicidad de nuestro modelo, el resultado es bastante bueno.

El pelo en la sopa

Para averiguar la segunda fecha, tomamos ahora la segunda solución t_2 y contamos 144 días a partir del 20 de marzo (el equinoccio de primavera) y resulta que esa fecha está entre el 10 y 11 de agosto. Pero el artículo de Siglo 21 dice que es el 13 de agosto. Dos o tres días de diferencia ya es no tan fácil de justificar. Así que la pregunta es ¿cómo explicamos la diferencia? ¿habrá algún error en el cálculo? Un poco de ayuda: la fecha 13 de agosto es correcta.

La solución a esta discrepancia la discutiremos en la segunda parte de este post. Pero si alguien encuentra la respuesta antes, puede compartirla aquí. :-)

Continuará…

Segunda parte: Sin sombra al medio día II: la excentricidad de la órbita

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Comentarios»

1. enki - abril 22, 2010

No soy matemático pero me supongo que no se necesita serlo para dar con la solución. “Adivino” que la incorrección está en parte en la carencia de perfecta redondez de la Tierra y en parte en que el movimiento de translación alrededor del sol tampoco es esférico. La longitud de un equinoccio al otro no es igual a la del otro al uno con una diferencia de hasta 7 días, lo mismo entre los solsticios, con una diferencia de 5 d, por lo tanto si a los 40 d da casi uno de error, a los 140 algo así como 3 días al “día sin sombra”. Supongo que las fechas que se dan son correctas porque la primera es aprox. 40 d después del equinoccio y la segunda aprox. 40 d antes del segundo equinoccio, cuando el eje de la tierra se vuelve a alinear con los rayos solares (primer dibujo) y por lo tanto Guatemala vuelve a quedar en la misma posición, como en el segundo dibujo. Para explicarlo de otra forma, después del solsticio de verano los días se empiezan a acortar y 40 d antes del equinoccio de otoño regresa Guatemala a la misma posición en la que se da el segundo día sin sombra. Pero me siento inseguro de mi observación. quedaré pendiente del segundo acto. gracias por cuestionar semejante fenómeno. ah, el calendario gregoriano va un poco adelantado pero esto no justifica la diferencia.

2. Edgar Cifuentes - abril 22, 2010

Hola Enrique
En el momento de la culminación inicia el curso de tópicos 1, tendremos un gnomo para verificar el momento preciso.
Su ubicación no esta sobre nuestro paralelo pero si hacemos la pequeña traslacion temporal de su culminación podemos repetir a Eratóstenes.

3. Enrique - abril 22, 2010

Enki,

tu intuición es correcta. Tomar en cuenta el hecho que la órbita de la tierra alrededor del sol no es circular sino elíptica, hace que las fechas concuerden. Esa es la idea básica que trataré de explicar en el siguiente post.

Edgar,

suena interesante, allí platicamos para ponernos de acuerdo.

4. enki - abril 23, 2010

Uy, se echa de ver claramente que no soy matemático, me equivoqué en una suma L-mental, no son 40 d antes del segundo equinoccio sino 31d. Por eso iba a comentar que mi deducción tendría que estar completamente equivocada pero me ganaste Enrique. Ahora, para comprobar mi operación y para cuando venga la aclaración del error, cuáles serían los días sin sombra a la altura de Mérida, Yucatán? Allí creo que la latitud anda por 20.5. Después haré un comentario que a Edgar seguro le interesará.

5. enki - abril 23, 2010

Enrique,
creí que era muy fácil despejar t para llegar al resultado obtenido pero no lo logré. Podrías demostrarlo tú?, quizá haya otros curiosos como yo que se encuentran en la misma situación. también podrías mostrar cómo llegas a t2? Agradecido!

6. Enrique - abril 23, 2010

Enki,

la ecuación despejada es:

\displaystyle t_1 = \frac{T}{2 \pi} \sin^{-1} \left(\frac{\theta}{23.45} \right)

la otra solución es el ángulo suplemento del anterior. Al depejarlo queda:

\displaystyle t_2 = \frac{T}{2}-\frac{T}{2 \pi} \sin^{-1} \left(\frac{\theta}{23.45} \right)

Para operación \sin^{-1} (seno inverso), asegurate que la calculadora esté en modo radianes.

Si tu latitud es 20.5 grados, a mi me da 61.8 y 120.7 días.

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